引言：
在无限的数学世界里，有一种数字形式让人着迷，那就是循环小数。循环小数通常表现为无限的小数，有着循环的数字，许多数学家用它来研究般的几何和数论。在中小学数学教育中，循环小数也是一个不容忽视的知识点，本文将从循环小数的定义、例题推导、转换等方面进行详细阐述，帮助学生深入理解循环小数的奥妙。
一、循环小数的定义与表示
循环小数是指小数部分有“循环”的规律出现。比如下面这个小数：
0.142857142857142857142857……（循环节为142857）
在循环小数中，142857这组数字无限重复出现，因此可以用括号来表示循环：0.142857（-7），其中括号上的-7代表循环节的长度7。
注意：如果循环节的长度是1，就可以不用写括号，直接在小数点后面加上一个点号。比如：
0.6666…（1个6） = 0.6（-1）
二、佳句推导的方法
常见的除法运算实际上就是一个尝试进行化简的过程。对于循环小数的推导，我们也可以利用这一原理进行简化。
以样例：0.142857142857142857142857……为例，将它表示成分数形式：
```mathjax! \\begin{aligned} & 0.142857142857142857142857……\\\\ = & \\frac{142857}{10^{6} - 1} \\end{aligned} ```其中，10^6 - 1代表了循环节142857的位数。因此，如果我们能找到一个整数除数，它可以整除开分子的循环节，我们可以将循环小数转换成真分数。下面的三个例子可以帮助我们理解这一点：
样例1：
```mathjax! \\begin{aligned} & 0.6666666... \\\\ = & 6\\cdot 0.1111111...\\\\ = & 6\\cdot\\frac{1}{9}\\\\ = & \\frac{6}{9}\\\\ = & \\frac{2}{3} \\end{aligned} ```样例2：
```mathjax! \\begin{aligned} & 0.31818181818...\\\\ = & \\frac{31}{10^2}\\cdot\\frac{1}{1} + \\frac{8}{10^2}\\cdot\\frac{1}{10} + \\frac{1}{10^2}\\cdot\\frac{1}{100} + \\frac{8}{10^2}\\cdot\\frac{1}{1000} + ... \\\\ = & \\frac{31}{99} \\end{aligned} ```样例3：
```mathjax! \\begin{aligned} & 0.1545454...\\\\ = & \\frac{1545}{10^4}\\cdot\\frac{1}{1} + \\frac{454}{10^4}\\cdot\\frac{1}{10} + \\frac{54}{10^4}\\cdot\\frac{1}{100} + \\frac{4}{10^4}\\cdot\\frac{1}{1000} + ... \\\\ = & \\frac{77}{500} \\end{aligned} ```通过以上例子可以看出，将循环小数化简成分数的方法，就是将小数按照下面的式子展开，暴力约分成最简分数：
```mathjax! \\begin{aligned} & x = S + \\frac{T}{10^k-1}\\\\ \\end{aligned} ```其中，S表示小数中的整数部分，T表示循环小数中的循环部分，k表示循环节的长度。
三、转换成小数
循环小数与分数的转换比较简单，将分数化成等价的循环小数。为了将分数化成这个形式，我们可以首先将分子整除分母，即：
```mathjax! \\begin{aligned} & \\frac{a}{b} = q + \\frac{r}{b}\\\\ \\end{aligned} ```其中，a代表分子，b代表分母，q是商数，r是余数。如果余数不为零，就可以将余数转化为一个分数，如此往返反复，直到得到一个10^k - 1的数为止。
以样例：3/7=0.4285714285714286……为例，下面是将分数化成循环小数的详细步骤：
```mathjax! \\begin{aligned} & \\frac{3}{7} = 0 + \\frac{3}{7}\\\\ & 7\imes 0.428 = 2 + \\frac{6}{10}\\\\ & 10\imes 0.6 = 6 + \\frac{0}{10}\\\\ \\end{aligned} ```停止后得到一个循环节006，因此：
```mathjax! \\begin{aligned} & \\frac{3}{7} = 0.4286（-3） \\end{aligned} ```这样就完成了一个分数转化成循环小数的全过程。
结尾：
循环小数虽然看起来很神秘，但它并非只能被数学家所探究和学习。相反，它是中学数学中的基础知识点之一。如果学生能够理解循环小数的定义和转化方法，将会为后续的分数四则运算和小数乘法做好铺垫。扎实的基本功不仅关系高中数学，而且决定了中学数学学习的高效性。
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